Question

两个独立随机变量相乘的方差怎么算？在线等......

错了这两个随机变量不是相互独立的

Answer 1

如果两个随机变量不是相互独立的，那么它们的乘积的方差可以通过协方差来计算。具体地，设 $X$ 和 $Y$ 是两个随机变量，它们的协方差为 $Cov(X,Y)$，则它们的乘积 $Z=XY$ 的方差为：
$$Var(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2=E(X^2Y^2)-[E(XY)]^2$$
其中，$E(XY)$ 为 $X$ 和 $Y$ 的期望的乘积，$E(X^2Y^2)$ 为 $X^2$ 和 $Y^2$ 的期望的乘积，可以表示为：
$$E(XY)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xyf(x,y)dxdy$$
$$E(X^2Y^2)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x^2y^2f(x,y)dxdy$$
其中，$f(x,y)$ 为 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度函数。
需要注意的是，如果两个随机变量是独立的，那么它们的协方差为 0，乘积的方差就可以直接计算为：
$$Var(XY)=E(X^2)E(Y^2)-[E(X)]^2[E(Y)]^2$$

Answer 2

D（xy）=E（xy）²-[E（xy）]²=E（x²）E（y²）-[E（xy）]²