Question

已知,如图,过正方形ABCD的对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，PE⊥CD于F，请你说明1.AP=EF 2.AP⊥EF

Answer 1

1、连接PC
∵PE⊥BC，PE⊥CD
∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=∠ACD=90°
∴PECF是矩形
∴EF=CP
∵AD=CD
∠ADP=∠CDP=45°
PD=PD
∴△ADP≌△CDP(SAS)
∴AP=CP
∴AP=EF
2、延长FP交AB于M
延长AP交EF于G
∴MF⊥AB
∴BMPE是正方形（∠MBP=∠EBP=45°)
∴PE=PM
∵EF=AP
∠EPF=∠PMA=90°
∴△APM≌△FEP(SAS)
∴∠APM=∠FEP=∠FPG(对顶角相等）
∵∠PFG=∠EFP
∴△PEF∽△GPF
∴∠PGF=∠EPF=90°
∴AG⊥EF
即AP⊥EF

Answer 2

⑴ AP＝CP＝EF

 

⑵  ∠TPE＝∠PAB＝∠PCB    ∠PET＝∠FCP    ∵∠PCE+∠FCP＝90º   ∴∠TPE+∠PET＝90º

 

∠PTE＝180º-﹙∠TPE+∠PET﹚＝90º     AP⊥EF

Answer 3

如图作辅助线

（1）随便挑两个三角形全等  比如AHP和PEF，（或者干脆用勾股定理）

（2）三角形全等 AHP和PEF，<APH = <FEP ,<IPE=<GPA，所以<FEP+<IPE=90°

所以AI垂直EF

（手工作图水平有限。。。）