Question

正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°

正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°
（1）求证：AG=FG;
（2）延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长.

Answer 1

1、过C点作BF的垂线，垂足为H点，
则∠FCH=45，∴HF=HC，
∵AE⊥BG，
∴易证：∠BAG=∠CBH
∴易证：△BAG≌△CBH
∴AG=BH，BG=CH
∴BG=FH
∴AG=FG
2、连接AF，由1、结论得：
AG=FG，∴△AGF是等腰直角△
而∠BFC=45°，∴∠AFM=90°
∴△AFM也是等腰直角△
∴AG=MG=FG，
∴AB=MB=10=AD=DC，
由1、结论得：BG=FH=CH
∵C点是FM中点，
∴CH是△FGM的中位线，
∴FH=GH
∴BG=GH=HF，
同理：GE是△BHC的中位线，
∴BE=CE=5，
设BG=a，则FG=AG=MG=2a
∴由勾股定理得：a=2√5
∴AM=4a=8√5
分别延长AM、DC，相交于N点，
∵CE∥DA，且CE=½DA
∴DC=NC=10，而CF=CM，
∴易证：△DFC≌△NMC
∴FD=NM
由勾股定理得：AN=10√5
∴MN=AN－AM=10√5－8√5=2√5
即FD=2√5

追问

我这边电脑的图传不上去，麻烦画个图像