Question

设函数f(x)=ax^3-3x^2 a∈R,且x=2

(1)若x=2是函数y=f(x)的极值点，求实数a的值。（2）若函数g(x)=e^xf(x)的单调区间
谢谢

Answer 1

(1)极值时说明在该点的导数值为0，则
f'(x)=3ax^2-6x=3x(ax-2)
f'(2)=6(2*a-2)=0
得a=1
(2)f(x)=x^3-3^2
g(x)=e^xf(x)
g'(x)=e^xf(x)+e^xf'(x)
=e^x(f(x)+f'(x))
=e^x(x^3-3x^2+3x^2-6x)
=e^x(x^3-6x)
=e^x*x(x^2-6)
则当x(x^2-6)>0时为增函数，解得单调区间为(-根号6，0)并(根号6，+无穷)。
则当x(x^2-6)<0时为减函数，解得单调区间为(-无穷，-根号6)并(0，根号6)。
你看看答案对不对。

Answer 2

解析：（1）先对函数f（x）求导，根据f′（2）=0可求出a的值，再由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案．
（2）先求出函数g（x）的解析式然后求导，再由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案．

解“（1）f′（x）=3ax2-6x=3x（ax-2），因为x=2是函数y=f（x）的极值点，
所以f′（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．
经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．所以f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）．
所以y=f（x）的单调增区间是（-∞，0），（2，+∞）；单调减区间是（0，2）
（2）g（x）=ex（x3-3x2），