Question

如图,点a(1,0),b(0,根号3)分别在x轴和y轴上,以线段ab为直角边第一象限内作Rt△ABC

如图,点a(1,0),b(0,根号3)分别在x轴和y轴上,以线段ab为直角边第一象限内作Rt△ABC，且使∠abc=30°。
1）求直线ab的解析式及点c的坐标 （答案：yab=-根3x+根3。c为（2，3分之根3）
2）若点p（m，2分之根3）为平面内的一点，使得三角形apb与三角形abc面积相等，求m的值。

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Answer 1

1）直线 AB 在 x 和 y 轴上的截距分别为 1、√3，由直线的截距式方程可得：y=-(√3/1)*(x-1)；
即 AB 的解析式为 y=-√3 x+√3；
没棚者有附图不能确定 C 点具体位置（不知道 RT△ABC 哪个角是直角）链岁薯；
如 ∠BAC 是直角，则 ∠CAx=90°-∠BAO=90°-60°=30°，AB=2，AC=AB*tan30°=2√3/3；
Xc=Xa+AC*cos∠CAx=Xa+AC*cos30°=1 +(2√3/3)*(√3/2)=2；
Yc=AC*sin∠CAx=(2√3/3)*sin30°=(2√3/3)*(1/2)=√3/3；即坐标 C(2,√3/3)；
2）当点 P 到直线 AB 的距离与 C 点到 BA 的雀蚂距离相等时，△APB 与△ABC 的面积相等；
将点 P 坐标 (m,√3/2) 代入点到直线的距离公式：|√3 m+√3/2 -√3|=|√3* 2 +√3/3- √3|=4√3/3；
∴ √3 m -√3/2=±4√3/3，m=(1/2)±4/3=11/6 或 -5/6；

追问

第二问还不是很明白

追答

第二问应注意到△APB 与△ABC 有一共同边 AB，即两个三角形的底边长是相等的，对应这两条边（其实是一条）上的高（即三角形另外一角点到此 AC 边的距离）也相等的话，那这两个三角形的面积岂不是就相等了吗？
点到直线的距离公式使用时简化了，本应是 d=|Ax+By+C|/√(A²+B²)，分母从等式两边同时消去了；

追问

我初中没有学点到直线公式 有其他方法没

追答

从 C(2,√3/3) 作 AB 的平行线（这条直线方程会用点斜式求吧？），该线与直线 y=√3/2 的交点即为其中之一个 P 点，求出其坐标及可（显然此点纵坐标是 √3/2，且到直线 AB 的距离与 C 相同）；
另一个 P 点在线 AB 的另一侧，找出 C 关于直线 AB 的对称点 C'（CC' 的中点就是 A，即 C、C' 两坐标平均即等于 A 点坐标），过 C' 作平行于 AB 的直线与 y=√3/2 的交点即是 P（求法同上）；