Question

高等代数 多项式 一节的一个证明题

谢谢！求证：已知b是复数，由（x-b)展成（指复数域内根不变）的Q[x]上不可约多项式唯一（差一个常数倍意义下）

Answer 1

这个叙述很含糊
我推测原来的命题是这样
已知b是一个复数, 那么以b为根的有理系数不可约多项式若存在则必在相差一个常数倍的意义下唯一.

追问

对，存在性也要考虑。请问怎么证明呢？我也需要他的扩充方法，比如更2加 更3是某有理系数不可约多项式多项式更，则相应的另外的更的求法。我是在高等代数考研教案上看到这两个结论，他直接用了。

追答

存在性不是无条件的, 只有代数数才可以, 比如2^{1/2}+3^{1/2}可以, 但pi就不行.
至于唯一性, 在所有的以b为根的有理系数多项式中取一个次数最低且非零的f(x)出来, 那么对于任何满足g(b)=0的有理系数多项式g(x), 做除法g(x)=p(x)f(x)+r(x)后可以得到r(x)次数比f(x)更低且满足r(b)=0, 只能有r(x)=0, 否则就矛盾了. 再证明f必须不可约, 如果可约的话f的因子中至少有一个以b为根, 这样也找到了次数更低的多项式, 也导致矛盾. 这里的f(x)称为b的极小多项式.
对于2^{1/2}+3^{1/2}, 另外几个满足同一极小多项式根是-2^{1/2}+3^{1/2}, 2^{1/2}-3^{1/2}, -2^{1/2}-3^{1/2}, 极小多项式为x^4-10x^2+1. 你可以先从x=2^{1/2}+3^{1/2}移项平方逐步褪掉根号得到一个有理系数多项式, 然后再验证其不可约.

追问

谢谢!回答的非常严密.简直和我的高代老师一样.我看了好几遍。说到极小多项式，我第一轮看书太烦刚好没看极小多项式.

追答

对我来讲这也是显然的, 只不过显然不能代替严谨的证明. 当然, 等你有足够的知识了也可以先求出所有共轭根再得到极小多项式, 但是目前大概还不行.

直观一点讲, 有理系数多项式的带开平方的根都要正负成对出现, 这和实系数多项式共轭虚根成对定理的道理是一样的, 不过你目前没有足够的知识严格讨论这类问题, 只能针对具体问题来严格证明.