Question

已知抛物线y=ax^2+bx+c经过两点（0，1），（1／m，ｍ^2+mb-1／ｍ^2）

1求A，C的值
2 （1）求证抛物线与Ｘ轴恒有两个交点。
（2）设抛物线与X轴的两个交点为A，B，求线段AB的最小值
3当b取何值时，对任意的Ｘ满足-1小于等于Ｘ小于等于2时，都恒有-8小于等于y小于等于13／4成立

Answer 1

解：
1.
y=1=a*0+b*0+c,故c=1，
(m^2+mb-1)/m^2=a/m^2+b/m+c,
a=-1.
2.
（1）y=-x^2+bx+1,
判别式Δ=b^2+4>0,
所以抛物线与x轴恒有两个交点。
（2）
x1,2=(-b±√Δ)/(-2)=(b±√Δ)/2,
AB=√Δ=√(b^2+4)≥2,
故b=0时，AB取最小值2.
3.
配成顶点式先观察一下:y=-(x-b/2)^2+1+b^2/4,
最大值为1+b^2/4,x=-1时，y=-b,x=2时，y=2b-3，
故当对称轴x=b/2在（-∞，-1）和（2，+∞）上时，
需满足-8≤-b≤13/4,-8≤2b-3≤13/4,
解得-5/2≤-b<-2,
当对称轴b/2在[-1,2]上时，-2≤b≤4,
还需增加约束1+b^2/4≤13/4,-3≤b≤3,
则-2≤b≤3,
综上b的取值范围是[-5/2,3]

如仍有疑惑，欢迎追问。
祝：学习进步！

追问

妈的这是上午的考试题目阿我草，分还是给你了

追答

好吧。你的题目就是因为没人回答，所以被扔进了难题榜。如果不是这样我也不会看到这道题呢，呵呵。。 = =！

Answer 2

答：
（1）本小题应该是求a和c的值
点（0,1）和点（1/m，(m^2+mb-1)/m^2)代入抛物线方程y=ax^2+bx+c得：
0+0+c=1
a(1/m)^2+b*(1/m)+c=(m^2+mb-1)/m^2=1+b/m-1/m^2
所以：c=1
a/m^2+b/m+1=1+b/m-1/m^2
所以：a=-1
综上所述：a=-1，c=1

（2）抛物线方程y=-x^2+bx+1；令y=-x^2+bx+1=0
根据韦达定理得：x1+x2=-b，x1*x2=-1
AB=|x1-x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(b^2+4)>=√4=2
所以：AB的最小值为2，此时b=0。

（3）y=-x^2+bx+1=-(x-b/2)^2+1+b^2/4，求导得：y'(x)=-2x+b；当-1<=x<=2，-8<=y<=13/4。
3.1）当对称轴x=b/2<=-1即b<=-2时，y'(x)<=0，y(x)在[-1,2]上是减函数，y(2)<=y(x)<=y(-1)
所以：-4+2b+1=2b-3<=y(x)<=-1-b+1=-b
当2b-3=-8时，b=-5/2<-2满足，y(x)最大值为-b=5/2<13/4，所以假设成立。
3.2）当对称轴-1<=x=b/2<=2即-2<=b<=4时，y(x)最大值为y(b/2)=1+b^2/4=13/4。
解得b=3（b=-3不符合-2<=b<=4舍去）
此时y=-x^2+3x+1，y(-1)=-3，y(2)=3，最小值-3>-8，所以假设成立。
3.3）当对称轴x=b/2>=2即b>=4时，y(x)在[-1,2]上是增函数，y(-1)<=y(x)<=y(2)
所以：-b<=y(x)<=2b-3
当-b=-8时，b=8>4满足，y(x)最大值2b-3=13>13/4，所以假设不成立。
当2b-3=13/4时，b=25/8<4不符合，所以假设不成立。

综上所述，b=-5/2或者b=3时，在区间[-1,2]上恒有-8<=y<=13/4。