Question

实数x,y满足(x-2)²+y²=1,则y/x的最大值是

额 好吧 我看错答案了。。。

Answer 1

由图中可看出，y/x 的最大值为上切线。由半径为1，圆心为（2,0），由勾股定理可知：切线斜率为：tan30° = √3 / 3

Answer 2

解：
方法一:几何法
(x-2)²+y²=表示圆心为(2,0),半径为1的圆,
y/x表示圆上一点M(x,y)的斜率,连接OM看出,OM与圆相切时有最大和最小值，最大值为√3/3

方法二:参数法
由圆方程(x-2)²+y²=1可以设圆上任一点P为
(2+3cost,sint),则y/x=k=sint/(2+cost),整理得
根据三角函数求最值得(y/x)max=√3/3

方法三：判别式法
设y/x=k，则y=kx
代入方程，得
(x-2)²+(kx)²=1
然后展开化成一般式，根据x为实数，即该方程有实根
从而Δ≥0
解得 k的最大值为√3/3，也就是y/x的最大值是√3/3

Answer 3

解：此类问题解法很多，我用三角解之。
∵（x-2)²+y²=1
∴可令x=cosa+2,y=sina
则y/x=sina/(cosa+2)
即xsina-ycosa=2y
√(x^2+y^2)sin(a+θ)=2y
∴sin(a+θ)=2y/(x^2+y^2)]
∵│sin(a+θ)│≤1
∴{2y/(x^2+y^2)]}^2≤1
得(y/x)^2≤1
∴-1≤y/x≤1
所以最大是1

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祝学习进步！

Answer 4