Question

函数F(X)=X³+ax²+bx+5过曲线y=f(x)上的点p(1,f(1))的斜切线率为3

(1)若y=f(x)在X=-2时有极值，求f(x)的表达式
(2)在(1)的条件下，求y=f(x)在【-3，1】上的最大值

Answer 1

（1）f′(x)=3x²+2ax+b;
f′(1)=3+2a+b=3；2a+b=0;(1)
f′(-2)=12-4a+b=0;b-4a=-12(2)
6a=12;a=2;
b=-4;
所以解析式为F(x)=x³+2x²-4x+5;
(2)f′(x)=3x²+4x-4=(3x-2)(x+2);
∴x∈[-3,-2]时，f′(x)＞0,单调递增；
x∈[-2,2/3]时，f′(x)＜0,单调递减；
x∈[2/3,1]时，f′(x)＞0,单调递增；
在x==-2时，极大值=f(-2)=-8+8+8+5=13;
f(1)=1+2-4+5=4；
所以最大值为13；
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Answer 2

（1）

f'(x)=3x²＋2ax＋b
因为
曲线y=f(x)上的点p(1,f(1))的斜切线率为3
所以
3＋2a＋b=3
2a+b=0①

又y=f(x)在X=-2时有极值，

即12-4a+b=0
4a-b=12②
解得a=2,b=-4
f(x)=x³＋2x²-4x＋5
（2）f'(x)=3x²+4x-4=0
1 2
3 -2
(x+2)(3x-2)=0
x=-2或x=2/3
f(-3)=-27+18+12+5=8
f(-2)=-8+8+8+5=13
f(2/3)=8/27+8/9-8/3+5=95/27
f(1)=1+2-4+5=4
所以
最大值=f(-2)=13.

Answer 3

答：
（1）f(x)=x^3+ax^2+bx+5
求导得：f'(x)=3x^2+2ax+b
再次求导得：f''(x)=6x+2a
依据题意知道：f'(1)=3+2a+b=3……（A）
f(x)在x=-2时有极值，说明：f'(-2)=0，f''(-2)≠0
所以：
f'(-2)=12-4a+b=0……………………（B）
f''(-2)=-12+2a≠0……………………（C）
由（A）、（B）和（C）解得：a=2，b=-4
所以：f(x)=x^3+2x^2-4x+5

（2）y=f(x)=x^3+2x^2-4x+5
f'(x)=3x^2+4x-4=(3x-2)(x+2)=3(x+2/3)^2-16/3
当-3<=x<=-2或者2/3<=x<=1时，f'(x)>=0，f(x)是增函数；
当-2<=x<=2/3时，f'(x)<=0，f(x)是减函数。
f(-3)=-27+18+12+5=2
f(-2)=-8+8+8+5=13
f(2/3)=8/27+8/9-8/3+5=95/27
f(1)=1+2-4+5=4
所以：y=f(x)在[-3,1]区间上的最大值为13

Answer 4

F(x)=x³＋ax²＋bx＋5
则：
F'(x)=3x²＋2ax＋b
得：k=F'(1)=2a＋b＋3=3
2a＋b=0 ------------------------------------ ①
又：F'(－2)=12－4a＋b=0 ------------- ②
解①、②，得：a=2，b=－4
则：F(x)=x³＋2x²－4x＋5

此时，F'(x)=3x²＋4x－4=(3x－2)(x＋2)
函数F(x)在[－3，－2]上递增，在[－2，2/3]上递减，在[2/3，1]上递增
F(－2)=13，F(1)=4
则最大值是F(－2)=13