Question

如图，在平面直角坐标系xOy，正方形AOBC的顶点C的坐标为（1,1），过点B的直线MN与OC平行

如图，在平面直角坐标系xOy，正方形AOBC的顶点C的坐标为（1,1），过点B的直线MN与OC平行，AC的延长线交MN于点D，点P是直线MN上的一个人动点，CQ∥OP交MN于点Q.
（1）求直线MN的函数解析式；
（2）当点P在x轴的上方时，求证：△OBP≌△CDQ；
（3）当四边形OPCQ为菱形是，是求出点P的坐标.

Answer 1

⑴易知OC是正比例函数y＝x的图象
∵OC∥MN
∴∠OEB＝∠AOC＝45°
∴OE＝OB＝1
∴E点坐标为(0，－1)
故直线MN的函数解析式为：y＝x－1

⑵∵OC∥PQ，OP∥CQ
∴四边形OPQC是平行四边形
∴OP＝CQ，PQ＝OC
∵PQ∥OC
∴∠CDB＝∠ACO＝45°
∴CD＝CB＝OB
∵CD∥OB
∴四边形OBDC是平行四边形
∴BD＝OC
∴BD＝PQ
∴BP＝DQ
∵OP＝CQ，OB＝CD
∴△OBP≌△CDQ

⑶当四边形OPQC是菱形时，OP＝OC＝√2
过点P作PF⊥x轴于点F，设PF＝m
∴BF＝PF＝m
在Rt△OPF中，OP^2＝OF^2＋PF^2
∴(√2)^2＝(1＋m)^2＋m^2
解得：m＝(√3＋1)/2或m＝(√3－1)/2
由于m＝PF＜OP
∴m＝(√3－1)/2
∴OF＝m＋1＝(√3－1)/2＋1＝(√3＋1)/2
∴P点坐标为：(√3/2＋1/2，√3/2－1/2)

Answer 2

(1)B(1,0)
OC的斜率为1
OC//MN
所以MN的斜率为1
所以MN:y=x-1
(2)
OC//MN ,CQ//OP
所以四边形COPQ为平行四边形
所以OP=CQ　　角CQD=角OPB
OC//MN,OB//CD 所以四边形COBD是平行四边形
所以OB=CD　,角CDQ=角OBP　
由上面条件△OBP≌△CDQ

（3）四边形OPCQ为菱形
所以OC=OP
设P(X,X-1)
OC=根号2
OP=根号(x^2+(x-1)^2)=根号2
x^2+x^2-2x+1=2
2x^2-2x-1=0
x=(1+根号3)/2
所以P（(1+根号3)/2 ,(根号3-1)/2）