Question

已知关于x的一元二次方程x²-（m²+3）x+1/2（m²+2）=0

（1）试证：无论m取任何实数，方程均有两个正根；
（2）设X1、X2为方程的两个根，且满足（X1）²+（X2）²-X1X2=17/2，求m的值

Answer 1

1.
△=(m²+3)²-4*1/2(m²+2)
=(m²+3)²-2(m²+3)+2
=(m²+2-1)²+1＞0
所以有两个不等实根
设两个不等实根为a,b,根据韦达定理
a+b=m²+3＞0
a*b=1/2(m²+2)＞0
所以a,b都大于0
所以不论m取任何实数,方程均有两个正根

2.
根据韦达定理
x1+x2=m²+3
x1*x2=1/2(m²+2)

(x1)²+(x2)²-x1x2=17/2
(x1+x2)²-3x1x2=17/2
(m²+3)²-3/2(m²+2)=17/2
2(m²+3)²-3(m²+3)-14=0
令t=m²+3＞0
2t²-3t-14=0
(2t-7)(t+2)=0
t=3.5或t=-2(舍去)
m²+3=3.5
m²=0.5
m=±√2/2

Answer 2

1:证明：

△=（m²+3）²-2（m²+2）

=m⁴+6m²+9-2m²-4

=m⁴+4m²+5

=（m²+2）²+1>0

方程有两个不相等的实数根

x1+x2=(m²+3)>0

x1x2=1/2m²+1>0

无论m取何实数，方程有两个正根
2:设x1，x2 为方程的两根

x1+x2=(m²+3)

x1x2=1/2m²+1

x1²+x2²-x1x2=8.5

（x1+x2）²-3x1x2=8.5

∴m⁴+6m²+9-3（1/2m²+1）=8.5

2m⁴+9m²-5=0

（2m²-1）（m²+5）=0

∵m²+5>0

∴2m²-1=0

m²=1/2

m=（√2）/2，m=-（√2）/2