Question

若f(x)=e^x-1/2 x^2-ax-1，当x≥1/2时，f(x)≥0恒成立，则a的取值范围

Answer 1

运用分离参数法
解：由题意可知，x>=1/2时，f(x)>=0恒成立
∴e^x-1/2x^2-1>=ax
移项得e^x/x-x/2-1/x>=a
∴设h(x)=e^x/x-x/2-1/x
求导得h'(x)=(x*e^x-e^x-x^2/2+1)/x^2
设g(x)=x*e^x-e^x-x^2/2+1
∴g'(x)=x*(e^x-1)
∵x>=1/2
∴g'(x)>0
∵g(x)递增,即g(x)>=g(1/2)>0
∴h'(x)>0,即h(x)>=h(1/2)=2e^(1/2)-9/4
∵对x>=1/2，h(x)>=a恒成立
∴a<=h(1/2)=2e^(1/2)-9/4
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