Question

在直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，顶点为P． （1）若点P的坐标为（-1，4

在直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，顶点为P．（1）若点P的坐标为（-1，4），求此时抛物线的解析式；（2）若点P的坐标为（-1，k），k＜0，点Q是y轴上一个动点，当k为何值时，QB+QP取得最小值为5；（3）试求满足（2）时动点Q的坐标．

Answer 1

答：
（1）抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为（-b/(2a)，c-b^2/(4a))，依据题意知道：
-b/(2a)=-1
c-b^2/(4a)=4
a+b+c=0
解得：a=-1，b=-2，c=3
抛物线的解析式为y=-x^2-2x+3

（2）因为对称轴x=-1，点A(1，0)和点B关于对称轴对称，所以点B为（-3,0）.
因为点P关于y轴的对称点P'为（1，k），当PQP'三点成一直线时，QB+QP=QB+QP'=BP'为最小值，所以：
QB+QP=BP'=√[(-3-1)^2+(0-k)^2]=5
解得：k=-3（k=3与k<0矛盾舍弃）

（3）k=-3时，点P‘为（1，-3），BP'直线为：y-0=(x+3)(-3-0)/(1+3)=-3x/4-9/4
所以BP'直线为y=-3x/4-9/4
令x=0，y=-9/4
所以：点Q为（0，-9/4）。