Question

可降阶的二阶微分方程问题：设函数u=f(r),r=√(x^2+y^2)在r>0内满足方程з^2u/зx^2+з^2u/зy^2=0,其中f

可降阶的二阶微分方程问题：设函数u=f(r),r=√(x^2+y^2)在r>0内满足方程з^2u/зx^2+з^2u/зy^2=0,其中f(r)二阶可导，求f(r)...答案是f(r)=c1lnr+c2,求过程啊，急~~~~~~~~~~~~~~~~~~·没财富了，求大神帮忙啊

Answer 1

laplace方程，将直角坐标的微分方程转化为极坐标的微分方程即可

追问

没学过啊，能不能用齐次线性微分方程之类的方法做啊！

追答

f是函数，ə是求偏导符号

直角坐标下的拉普拉斯方程为：(ə²/əx²)+(ə²/əy²)f=0
极坐标下的拉普拉斯方程：(ə²/ər²)+(1/r)(ə/ər)+(1/r²)(ə²/ə²θ)f=0
由于极坐标下f只是r的函数，与θ无关，所以偏导数可转化为普通导数
所以(ə²/ər²)+(1/r)(ə/ər)+(1/r²)(ə²/ə²θ)f=0变为[(ə²/ər²)+(1/r)(ə/ər)]f=0
也就是f''+f'/r=0,这里的求导是对r求导，
所以 。。。。