Question

高中数学题 抛物线y2=4x的焦点为F,点P（x,y)为该抛物线上的动点，又点A(-1,0),则|PF|/|PA|的最小值

如题 抛物线y²=4x的焦点为F,点P（x,y)为该抛物线上的动点，又点A(-1,0),则|PF|/|PA|的最小值为
A.1/2 B.根号2/2 C.根号3/2 D.2倍根号2/3

Answer 1

|PF| 等于 P 到准线 x=-1 的距离，|PF|/|PA| 最小意味着 AP 与 x 轴夹角最大（AP与 x=-1 夹角最小），这只有在 AP 与抛物线相切时才会出现；问题转化为求过 A(-1,0) 点的抛物线切线；
点 (x0,y0) 处抛物线斜率为 k=y0'=2/y0，切线方程可表示为：y-y0=2(x-x0)/y0；
以 A(-1,0) 带入切线方程 -y0=2(-1-x0)/y0，并以 y0²=4x0 替换化简得：x0=1，y0=±2；
斜率 k=2/y0=±1；
|PF|/|PA| 最小值为 =sin45°=√2/2；所以应选 2；

Answer 2

按照题意解PF/PA=1/{1+[4x/(x+1)^2]}然后就是求分母的最大值，设4X/(X+1)^2=a 然后把左边乘过去变成二次方程，解 三角形 >0可以解得a的最大值 解得a最大为1，所以选A。 1/2

Answer 3