Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，其对角线交于点E，∠AED=60°，且D点的坐标为（0，4）

1）若M,N,P分别是DE，CE。AB的中点，求证：四边形APNM是菱形
2）若M,N,P分别是DE，CE。AB的中点，求证：三角形MNP是等边三角形

Answer 1

⑴∵ABCD是矩形，∴AB=CD，ED=EC=EA，
∵M、N是ED、EC的中点，
∴MN∥CD，MN=1/2CD=1/2AB，
∵P为ABAB的中点，∴AP=1/2AB，
∴MN=AP，MN∥AP，∴四边形APMN是平行四边形，
∵∠AED=60°，∴ΔADE是等边三角形，
又M为ED的中点，∴AD⊥DE，∠MAD=1/2∠DAE=30°，
∴∠BAM=60°，∴∠ABM=30°，∴AM=1/2AB=AP，
∴平行四边形APMN是菱形。
⑵∵PM是RTΔABM斜边AB上的中线，∴PM=1/2AB=AP，
∴ΔAPM是等边三角形，∴∠NMP=∠APM=60°，
又MN=PM=1/2AB，
∴ΔPMN是等边三角形。