Question

如图2,在凹四边形ABCD中,已知∠ABD与∠ACD的平分线交于E点,求证：∠E=（∠A+∠D）/2

Answer 1

证明：连结ED并延长到F,
因为 角ABD和角ACD的平分线交于E,
所以 角ABE=角DBE, 角ACE=角DCE,
因为 角BDF=角BED+角DBE,
角CDF=角CED+角DCE,
所以 角BDF+角CDF=角BED+角CED+角DBE+角DCE
即： 角D=角E+角DBE+角DCE （1）
同理 角E=角A+角ABE+角ACE (2)
因为 角ABE=角DBE, 角ACE=角DCE,
所以 （1）--（2）得：
角D--角E=角E--角A
所以 角A+角D=2角E,
角E=1/2（角A+角D）。

Answer 2

作射线AD，根据外角定理可证明得：
∠BDC=∠ABC+∠A+∠DCB①
∠E=∠ABE+∠A+∠ACE②
将①两边都除以2后两式相减,
根据角平分线定义得2分之1倍∠ABC=∠ABE,2分之1倍∠ACD=∠ACE
可证：∠E=（∠A+∠D）/2
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