Question

高中数学极限问题

函数 (e∧2x －2x)／(e∧x -1) X无限趋向于0的极限，我从没见过这样的式子，感到很棘手，特请高手指点一二。

Answer 1

趋于一点的极限要分别判断左极限和右极限，只有在两者同时存在并且相同时，函数趋于这一点才有极限。高中的话一般情况下把趋向于的那点带入原式大概就能发现极限，尤其是趋于的点在函数定义域里的时候。这个式子，0不在函数的定义域里。大于0的时候，分子分母都是正的，分子趋于1，分母趋于0，所以就有右极限,1/+0（这个表示是个意会。。。），正无穷；小于0的时候分子是正的，分母是负的，分子趋于1，分母趋于0，所以就有左极限1/-0,负无穷。所以这个函数趋于0没有极限。感觉上有点类似f(x)=1/x 在x=0的极限。 但愿可以帮到你

追问

分母为0不就没意义了么？

追答

分母趋于0，但不是0。 就像你可以让x趋于0，但是你不可能让x=0. 我写的1/-0 和1/+0只是为了表示分子和分母从什么方向趋于某值而已。分母无限从负方向趋于0 就等价于，（e^x-1)^(-1)趋于负无穷。

你不妨拿计算器算算，让x=0.00001和-0.00001，看看结果如何

Answer 2

你把x=0带入院原式
上面e∧2x-2x=1
下面e∧x-1=0
所以函数趋于无穷
一般需要考虑的是0比0型，和∞比∞型，
可以用罗比达法则，就是上下求导后再次带入

Answer 3

这在求极限时用到诺比特法则：0比0的不定式的极限等于它们分子分母分别求导后的极限：
=lin(x->0)[2e^(2x)-2]/e^x=0

Answer 4

分子不趋0，分母趋于0，极限是无穷大

Answer 5

把式子改为(e∧2x －e∧x +2x+e∧x+1-1 )／(e∧x -1)你会做嘛