Question

大一高等数学用积分判别法确定级数敛散性 第二大题的一二题

Answer 1

（1） ∑<n=2,∞>lnn/n^2, lnn/n^2 在 n ≥ 2 时非负、递减，
则该级数与 ∫<2, +∞> (lnx/x^2)dx 敛散性相同。
∫<2, +∞> (lnx/x^2)dx = - ∫<2, +∞> lnxd(1/x)
= - [lnx/x]<2, +∞> + ∫<2, +∞> dx/x^2
= - [(lnx-1)/x]<2, +∞>
lim <x→+∞>(lnx-1)/x = lim <x→+∞>(1/x)/1 = 0,
故该级数收敛。
(2) ∑<n=2,∞>1/[n(lnn)^p], 1/[n(lnn)^p] 在 n ≥ 2 时非负、递减，
则该级数与 ∫<2, +∞> dx/[x(lnx)^p)] 敛散性相同。
∫<2, +∞> dx/[x(lnx)^p)] = ∫<2, +∞> dlnx/(lnx)^p)
= [1/(1-p)][(lnx)^(1-p)]<2, +∞>
p > 1 时收敛， p ≤ 1 时发散。