Question

∫(0,x)e^(-t^2)dt求函数在x=0处的幂级数展开式,并确定收敛范围

请大家帮忙算算。。。。

Answer 1

∫(0,x)e^(-t^2)dt
=∫(0,x)Σ((-1)^i)t^2idt (i=0到无穷)
=Σ((-1)^i)∫(0,x)t^2idt (i=0到无穷)
=Σ((-1)^i)x^(2i+1)/(2i+1) (i=0到无穷)
收敛范围:
x<0时，lim |(((-1)^i)x^(2i+1)/(2i+1))/(((-1)^(i+1))x^(2i+3)/(2i+3))|=1/x^2；
得: -1<x,
而对x>0，数列为交错级数，得到x≤1;
所以，收敛范围为： -1<x≤1。

Answer 2

f(x)=∫(0,x)e^(-t^2)dt
f'(x)=e^(-x^2)
设-x^2=k
x=√-k
f'(√-k)=E（E上：无穷大）(E下：n=0) (k^n)/n! K属于（-无穷大，+无穷大）(当然，你要先说明R（√-k）=0（n->无穷大）才可以把它化成泰勒级数形式)
f'(x)=E[（E上：无穷大）(E下：n=0)](-1)^n*(x^2n)/n!
f(x)=E[（E上：无穷大）(E下：n=0)](-1)^n*x^(2n+1)/n!(2n+1)
收敛范围（-无穷大，+无穷大）
熟记基本的初等函数的麦克劳林级数，熟练运用换元法（便可把复杂的含初等函数形式的新函数化为幂级数）。
另一位仁兄的解答我也看不懂，如果对的话，应该是我还没学到这种知识。