Question

如图1,抛物线y=-x²+bx+c的顶点为Q,与x轴交于A(-1,0)、B（5,0）两点，与y轴交于点C。

如图1,抛物线y=-x²+bx+c的顶点为Q,与x轴交于A(-1,0)、B（5,0）两点，与y轴交于点C。
（1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小。请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；
（3）如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE⊥x轴，垂足为E。
①有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D—E—O的长度最长”。这个同学的说法正确吗？请说明理由。
②若DE与直线BC交于点F。试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请求出点D的坐标；若不能，请简要说明理由。

图一

图二

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Answer 1

答：
（1）把点A（-1,0）和点B（5，0）代入抛物线方程y=-x^2+bx+c得：
-1-b+c=0
-25+5b+c=0
解得：b=4，c=5
所以：抛物线的解析式为y=-x^2+4x+5，顶点Q为（2,9）。

（2）抛物线y=-x^2+4x+5与y轴交点C为（0,5），对称轴x=2。
因为点A和点B关于对称轴对称，所以：PA=PB
三角形PAC的周长=AC+PC+PA=AC+PC+PB>=AC+BC
当B、P和C三点共线时，三角形PAC的周长最小为AC+BC
BC直线为y-0=(x-5)(5-0)/(0-5）=-x+5，即：y=-x+5
与对称轴x=2的交点P（2,3）。

（3）
3.1）这个同学说法是不正确的。设点D为（d，-d^2+4d+5)，点E（d，0），0<d<5.
折线D-E-O的长度：
L=DE+EO
=-d^2+4d+5+d
=-(d-5/2)^2+45/4
因为：0<d<5

所以：当d=5/2时，L最大为45/4
此时点D横坐标为x=5/2，而点Q横坐标为x=2。
所以点D与点Q不重合，所以该同学的说法是错误的。

3.2）DCEB为平行四边形，DC//EB
所以：DC直线为y=5
直线y=5与抛物线y=-x^2+4x+5联立整理得：
x^2-4x=0
解得x1=0，x2=4
所以：点D为（4,5），点E为（4,0）
CD=4-0=4
BE=5-4=1≠CD
所以：DCEB不可能是平行四边形。