Question

从1,2,3,…,19.20中选取三个互不相同的数组成等差数列,则这样的等差数列共有多少个？

从1,2,3,…,19.20中选取三个互不相同的数组成等差数列,则这样的等差数列共有多少个？

Answer 1

2*(9+9+8+8+7+7+6+6+5+5+4+4+3+3+2+2+1+1)=180

第一个数是1,一共可以找出9组
第一个数是2,同样也有9组.以此类推,一直到18.

再乘以二因为每一个数列反过来还是等差数列.

Answer 2

分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。

设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，
又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。

Answer 3

公差为1，第一个数可以是从1到18任何一个，有18个数列
公差为2，第一个数可以是从1到16任何一个，有16个数列
公差为3，第一个数可以是从1到14任何一个，有14个数列
公差为4，第一个数可以是从1到12任何一个，有12个数列
公差为5，第一个数可以是从1到10任何一个，有10个数列
公差为6，第一个数可以是从1到8任何一个，有8个数列
公差为7，第一个数可以是从1到6任何一个，有6个数列
公差为8，第一个数可以是从1到4任何一个，有4个数列
公差为9，第一个数可以是从1到2任何一个，有2个数列
共有正数列18+16+14+12+10+8+6+4+2=90个。
同样，逆数列也有90个。
故共有180个

用等差公式来做就是，设a1max为数列第一数的最大值，m为数列的数目
m1=a1max1=20-2·d1
·
·
·
mn=a1maxn=20-2·dn
∑mi=20·n-2∑di
dn=n，n的最大值为9
则∑mi=20·n-n（n+1）=180-90=90
以上是正数列，逆数列同样有90个，故共有180个数列。

无敌背运星 的解法妙哉！！