Question

为什么无限个无穷大量之积不一定是无穷大量？

苏德矿的《微积分上》第一章中说有限个无穷大量之积仍是无穷大量；但是无限个无穷大量之积不一定是无穷大量。求举例解释。

Answer 1

我觉得即使是无限个无穷大量相乘，其积也应该是无穷大量。
试证如下：设有K个无穷大量相乘，其积是S，S是无穷大量。
当n＝K＋1时，S与第（K＋1）个无穷大量的乘积，必定也是一个无穷大量。
由此可见，当 n→∞时，各量的乘积也是一个无穷大量。
（这仅是本人的观点，有错之处请各位指出，勿喷，因为数学并不是我之长处）

只有相除或相加、相减，才会出现“无限个无穷大量之商或和、差，不一定是无穷大量”。

追问

我觉得这个证明不太对吧。按照这样岂不是可以证明无限个无穷小量之和还是无穷小量。。

Answer 2

如lim x→0(1/x)是无穷大，那无限个lim x→0(1/x)相加等于limx→0[1/x+1/x+…+1/x(x个1/x相加)]=limx→0(x×1/x)=1，而1不是无穷大量。
你能懂我意思吧？

Answer 3

引用cn#kQBQBpuaaL的回答：
如lim x→0(1/x)是无穷大，那无限个lim x→0(1/x)相加等于limx→0[1/x+1/x+…+1/x(x个1/x相加)]=limx→0(x×1/x)=1，而1不是无穷大量。
你能懂我意思吧？

人家问的是之积。。。