Question

过圆x^2+y^2=1上一点P做圆的切线与x轴和y轴分别交于A、B两点，O是坐标原点，则|AB+2OB|的最小值是？

过圆x^2+y^2=1上一点P做圆的切线与x轴和y轴分别交于A、B两点，O是坐标原点，则|AB+2OB|的最小值是？（OA、OB为向量）
|OB+2OB|的最小值是？我写错了#~

Answer 1

设A(a，0)，B(0，b)
直线AB的方程为
x/a + y/b = 1
AB与圆相切，那么圆心到直线AB的距离等于半径
那么
1 = 1 / √(1/a^2 + 1/b^2)
得到1/a^2 + 1/b^2 = 1
b^2 = a^2 / (a^2-1)
向量AB+2OB=(-a，3b)
|AB+2OB| = √(a^2 + 9b^2)
= √ { a^2 + 9[ a^2 / (a^2-1)] }
显然a^2 > 1，设a^2 = t
= √ { t+ 9 [t / (t-1)] }
=√ { t+ 9 [t / (t-1)] }
=√ { (t-1) + 9/(t-1) + 10 }
t-1>0
所以 t-1 + 9/(t-1) ≥ 2 √(t-1) * 9/(t-1) = 6
所以原式≥ √ 6 +10 =4
所以原式最小值为4

是OA+2OB么

OA+2OB=(a,2b)
|OA+2OB|=√(a^2 + 4b^2)
= √ { t+ 4 [t / (t-1)] }
= √ { t-1+ 4 / (t-1) + 5 }
≥ √4+5 = 3
所以原式最小值为3

Answer 2

若圆的方程为x²+y²=r^2，点m（x0，y0）在圆外，求证点m关于该圆的切点弦所在的直线方程是x0*x+y0*y=r²=============================================证明：设两个切点为A（x1,y1)、B(x2,y2)则过A点的切线为 x1x+y1y=r² 过B点的切线为 x2x+y2y=r²∵两条切线都过点 M（x0,y0)∴ x1x0+y1y0=r² x2x0+y2y0=r²∴点A(x1,y1)、B(x2,y2)都满足方程x0x+y0y=r²∴直线AB的方程是 x0x+y0y=r²∴设椭圆上的P点（x0,y0)则直线AB的方程是 x0x+y0y=b²令x=0 y=|b²/y0|令y=0 x=|b²/x0|∴S=½xy=½b^4/|x0y0|.....①再由椭圆的参数方程x0=acosα y0=bsinαx0y0=½absin2α≤½ab∴带入①得 S≥b³/a