Question

定义域在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),若∈[0,1]时f(x)=x,则当x∈[0,2013]时

,，方程f(x)=绝对值sinπ/2.x的实根的个数为（）

Answer 1

f(x)满足f(x+2)=-f(x)

那么f(x+4)=-f(x+2)=f(x)

∴f(x)为周期函数，T=4

∵x∈[0,1]时f(x)=x,

∵f(x)为奇函数

∴x∈[-1,0)时，f(x)=-f(-x)=-(-x)=x

∴x∈[-1,1]时，f(x)=x

∴x∈(1,3]时，x-2∈(-1,1]

∴f(x)=-f(x-2)=2-x

根据周期性

x∈(3,5]时，f(x)=x-4

x∈(5,7]时，f(x)=4-x

画出函数f(x)在[0,4]上的图像，为折线，

根据周期性可以画出[4,8],....的图像

y=|sin(π/2x)|的周期为2,4也是周期

画出图像，

观察f(x)与y=|sin(π/2x)|图像在[0,4)上的交点为3个

即一个f(x)的周期有3个交点

区间[0,2012）共503周期，有1509个交点

在[2012,2013]的交点情况与[0,1]一致，有2个交点

合计在[0,2013]上共有1511个交点

∴方程f(x)=|sin（π/2.x）|的实根的个数为（1511）