Question

已知函数f（x）＝4cosxsin（x＋π/3）-1 （1）求f（x）的最小正周期。 （2）求f（

已知函数f（x）＝4cosxsin（x＋π/3）-1
（1）求f（x）的最小正周期。
（2）求f（x）在[-π/6，π/4]上的最值。
（3）求f（x）的单调区间。

Answer 1

(1)f(x)=4cosxsin(x+π/3)-1=4cosx(sinxcosπ/3+cosxsinπ/3)-1
=4cosx[(1/2)sinx+(√3/2)cosx]-1=2cosxsinx+2√3cos²x-1
=sin2x+√3(1+cos2x)-1=sin2x+√3cos2x+√3-1=2sin(2x+π/3)+√3-1
∴最小正周期T=2π/2=π

当2x+π/3∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]即x∈[kπ-5π/12，kπ+π/12]时函数单调递增；
当2x+π/3∈[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]即x∈[kπ+π/12，kπ+7π/12]时，函数单调递减；
∴函数在x∈[-π/6，π/12]时函数递增，在x∈[π/12，π/4]是递减
∴函数在x=π/12时取最大值且最大值为√3+1
函数x=-π/6时函数取最小值且最小值为√3-1

Answer 2

解：
f(x)=4cosxsin(x+π/3)-1
=4cosx(sinxcosπ/3+cosxsinπ/3)-1
=4cosx[(1/2)sinx-(√3/2)cosx]-1
=2sinxcosx-2√3cos²x-1
=sin(2x)-√3[1+cos(2x)]-1
=sin(2x)-√3cos(2x) -√3-1
=2[(1/2)sin(2x)-(√3/2)cos(2x)]-√3-1
=2sin(2x-π/3) -√3-1
(1)
最小正周期T=2π/2=π
(2)
x∈[-π/6，π/4]
-2π/3≤2x-π/3≤π/6
-1≤sin(2x-π/3)≤1/2
2·(-1)-√3-1≤2sin(2x-π/3) -√3-1≤2·(1/2)-√3-1
-3-√3≤2sin(2x-π/3) -√3-1≤-√3
-3-√3≤f(x)≤-√3
f(x)在区间[-π/6，π/4]上的最大值为-√3，最小值为-3-√3。
(3)
2kπ-π/2≤2x-π/3≤2kπ+π/2，(k∈Z)时，f(x)单调递增
此时，kπ-π/12≤x≤kπ+5π/12，(k∈Z)
2kπ+π/2≤2x-π/3≤2kπ+3π/2，(k∈Z)时，f(x)单调递减
此时，kπ+5π/12≤x≤kπ+11π/12，(k∈Z)
函数的单调递增区间为[kπ-π/12，kπ+5π/12]，单调递减区间为[kπ+5π/12，kπ+11π/12]，(k∈Z)

Answer 3

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两个网友都出了点小差错，所以还是发一个给你参考。

追问

谢谢

Answer 4

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