Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＜0的解集为（1，3）.

（1）若方程f(x)＋1＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；（2）若函数g(x)＝f(x)＋5有零点，求a的取值范围.（3）当a＝1，若x∈[3，＋∞)时，函数y＝f(x)的图象总在y＝mx的上方，求m的取值范围。

Answer 1

答：f(x)<0的解集为1<x<3，所以：a>0，抛物线开口向上。
并且x1=1和x2=3是抛物线与x轴的交点横坐标。
设二次函数为f(x)=a(x-1)(x-3)
（1）f(x)+1=a(x-1)(x-3)+1=0有两个相等的实数根，
说明f(x)的顶点（2，-a）及抛物线f(x)向上平移1个单位后顶点恰好落在x轴上。
所以：-a=-1
所以：a=1
所以：f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3

（2）g(x)=f(x)+5=a(x-1)(x-3)+5有零点
所以：g(2)=-a+5<=0
所以：a>=5

（3）a=1时，f(x)=a(x-1)(x-3)=x^2-4x+3，y=mx
当x>=3时，f(x)>y=mx
绘制简单的图形可以看出，x>=3时，f(x)>=0总在y=mx上方
所以：m<0

Answer 2

1、f(x)可以因式分解为f(x)=a*(x-x1)*(x-x2)=a*(x-1)*(x-3),且f(x)<0解集为区间(1,3)则a>0
2、g(x)=a*x^2-4*a*x+3*a+5
△=b²-4ac=16*a^2-4*a*(3*a+5)=4*a(a-5)>=0 且由1可得a>0
则a>=5
3、f(x)=(x-1)*(x-3)=x^2-4x+3 x∈[3，＋∞)
f(x)在y=mx上方即 f(x)-mx>0 当 x∈[3，＋∞)
设为h(x)= f(x)-mx=x^2-(4+m)x+3
即h(x)的两个根在3的左边或者没有根
即（4+m+(m^2+8*m+4)^0.5）/2>=3 或 △=m^2+8*m+4<0
解得一、无解
或者二、-4-2*3^0.5<m<4-2*3^0.5
即 -4-2*3^0.5 < m < 4-2*3^0.5 ^表示次方，3^0.5就是3的0.5次方也就是根号3