Question

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y1=ax2+3x+c的图象经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B． （

（1）求：二次函数y1的解析式及B点坐标；
（2）若将抛物线y1以x=3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数y2，已知二次函数y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点．点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D、点E、点F也随之运动）；
①当点E在二次函数y1的图象上时，求OP的长．
②若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN（当Q点运动时，点G、点M、点N也随之运动），若P点运动t秒时，两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上（正方形在x轴上的边除外），求此刻t的值．

Answer 1

(1)将A(1,2)及原点(0,0)点带入函数y1中，得，a＝－1，c＝0，∴y1＝－x∧2＋3x，∵B在x轴上，∴将y＝0代入式中，得x1＝0，x2＝3，∴B(3,0)
(2)①∵以x＝3为轴翻转，∴C(6,0)，设y2＝－x∧2＋bx＋c，将B(3,0)，C(6,0)代入，得b＝9，c＝－18，∴y2＝－x∧2＋9x－18，设直线OA的函数为y3＝kx，将A(1,2)代入，得k＝2∴y3＝2x。设P(x,0)，x∈(0,6)，D点在直线OA上，则有D(x,2x)，∵□PDEF为正方形，∴DE＝PD，∴E点横坐标为2x＋x，又∵E在y1上，所以E(3x,－9x∧2＋9x)，又∵EF＝PD，∴－9x∧2＋9x＝2x，解的x1＝7／9，x2＝0，x∈(0,6)，∴x＝7／9∴OP长度为7／9
②设直线AC所在的函数为y4＝kx＋b，将A(1,2)，C(6,0)代入，得k＝－2／5，b＝12／5，∴y4＝－2／5x＋12／5，设P(t,0)，则Q(6－2t,0)，t∈(0,3)，则D(t,2t)，E(3t,2t)，G(6－2t,4t／5)，M(6－14t／5,4t／5)
情况一:EF与MN重合，则有3t＝6－14t／5，t＝30／29s
情况二:PD与MN重合，则有t＝6－14t／5，t＝30／19s
情况三:EF与QG重合，则有3t＝6－2t，t＝6／5s
情况四:PD与QG重合，则有t＝6－2t，t＝2s
情况五:DE与GM重合，则有2t＝4t／5，t＝0，∵t∈(0,3)，∴不成立
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