Question

一道数学选择题。求详细过程。谢谢。

Answer 1

A坐标是(-1,0),B是(1,0),设P坐标是(X,Y),有X^2+Y^2<1
那么向量PA=(-1-X,-Y),PB=(1-X,Y)
PA*PB=X^2-1+Y^2<0
又PA,PO,PB成等比数列,则有PO^2=|PA|*|PB|=向量PA*PB/cosa,(a是PA,PB的夹角,且a>90度)
即有PA*PB=|PO|^2*cosa,-1=<cosa<0
故有PA*PB>=-PO^2
即有x^2+y^2-1>=-(x^2+y^2)
x^2+y^2>=1/2
x^2+y^2-1>=-1/2
即有PA*PB的范围是[-1/2,0)
选择B

Answer 2

答：
PA.PB=|PA|*|PB|cosa=(|PO|^2)cosa<cosa
0<=|PO|^2<1
90°<a<=180°
-1<=cosa<0
所以：-1<=PA.PB<0

选择D

追问

答案是B 不好意思。

追答

嗯，没有考虑到 |PO|^2=|PA|*|PB|是存在最小值的，不能趋于0.

Answer 3

设：P(x，y)
则：
向量PA=(－1－x，－y)、向量PB=(1－x，－y)
PA*PB=x²－1＋y²
因为：x²＋y²∈[0，1)
则：PA*PB∈[－1，0)

追问

答案是B 不好意思。

追答

设：P(x，y)
则：
向量PA=(－1－x，－y)、向量PB=(1－x，－y)
PA*PB=x²－1＋y²

又：|OP|²=|PA|×|PB|
[√(x²＋y²)]²={√[(－1－x)²＋(－y)²]}×{√[(1－x)²＋(－y)²]
(x²＋y²)²=(x²＋y²＋2x＋1)×(x²＋y²－2x＋1)
(x²＋y²＋1)²－4x²=(x²＋y²)²
2(x²＋y²)＋1－4x²=0
2y²－2x²=－1
2y²－2x²=1 【点P在双曲线上，此双曲线就是点P(x，y)的轨迹】
双曲线上的点到原点的距离最小值是d=√2/2，此时是上端点到原点的距离；
双曲线与圆的交点到原点的距离最大[此时取不到最大值]，则：
PA*PB=(x²＋y²)－1∈[－1/2，0)

Answer 4

极限法
若P在圆上结果为0；
若在原点上为-1:；
故选D。

Answer 5

此题的答案应该是B

追问

为什么呢。怎么做。

追答

别的答案都没有考虑到等比数列这一条件，PO^2=PA*PB
P点是一个双曲线x^2-y^2=1/2上的一点，P还是园内的一点，最小值是在x轴上，此时为-1/2
最大值在圆上（但是不能取圆上的点），此时为0，所以为B