Question

已知数学期望和方差的正态分布，求概率

数学期望为1，方差为2，求的是取值在0~4的概率。记得有一个表可以查，现在想知道在知道期望和方差的情况下，怎么求相关概率？

Answer 1

不用二重积分的，可以有简单的办法的。
设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)] 其实就是均值是u，方差是t^2，百度磨李不太好打公式，你将就看一下。 于瞎罩迟是： ∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t。。。。。。（*） 积分区域是从负无穷到正无穷，下面出现的积分也都是这个区域，所以略去不写了。 （1）求均值 对（*）式两边对u求导： ∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0 约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得： ∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0 把(u-x)拆开，再移闷备项： ∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx 也就是 ∫x*f(x)dx=u*1=u 这样就正好凑出了均值的定义式，证明了均值就是u。 (2)方差 过程和求均值是差不多的，我就稍微略写一点了。 对(*)式两边对t求导： ∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π 移项： ∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2 也就是 ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2 正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。