Question

如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE．

∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN+DN=根号2*AN

Answer 1

证明：连接BD。设∠BAP=θ，因为BG垂直评分AE，所以∠AEB=θ，∠ABE=180°-2θ，∠CBE=90-2θ BE=BA=BC，∠CBN=∠EBN=45°-θ，∠BNG=∠BEA+∠EBN=45°，故∠BNG=∠NBG=45°，BN=√2GN=√2BG ∠DBN=∠DBC+∠CBN=45°+45°-θ=90°-θ，∠ABG=90°-θ在△ABG与△DBN中，AB/DB=BG/BN=√2/2，∠ABG=∠DBN，所以△ABG∽△DBN，AG/DN=AB/DB=√2/2即是DN=√2AG 所以BN+DN=√2GN+√2AG=√2AN