Question

一道线性代数题，实二次型f(x,y,z)=3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2zx 在单位球面上的最大值和最小值..谢谢

Answer 1

这个可看作是高数里面的条件极值，假设F(x,y,z)=f(x,y,z)=3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2zx+λ(x^2+y^2+z^2-1)，求解方程组
αF/αx=6x+2y+2z+2λx=0，
αF/αy=4y+2x+2λy=0，
αF/αz=4z+2x+2λz=0，
x^2+y^+z^2-1=0，
得x=1/√3,y=z=-1/√3或x=-1/√3,y=z=1/√3或x=2/√6,y=z=1/√6或x=-2/√6,y=z=-1/√6。
对应的四个f(x,y,z)的值分别是-1，-1，2，2。
所以f(x,y,z)在单位球面上的最大值是2，最小值是-1。

Answer 2

正交变换不改变模长，

其矩阵的特征值是4,2,1

所以该二次型在单位球面上的最大值是4，最小值是1.