Question

高等数学高手请进，请教关于微分的问题。

z=f(x,y),x=x(u,v),y=y(u,v)
∂z/∂u=(∂z/∂x)*(∂x/∂u)+(∂z/∂y)*(∂y/∂u)
为什么两个∂x（∂y)不能约分？

而这里：dy/dt=(dy/dx)*(dx/dt)
的两个dx能约分？

希望讲清楚为什么，不要举例子，直说道理。
欢迎更多答案，共同探讨，满意答案给200财富值。

Answer 1

@yuan7290|五级说的对：
概念不一样
(∂z/∂x)表示的是z=f(x,y)对x的偏导，是整体概念，不可拆分。
dx是作为微分定义的一个参数，具有独立存在的意义。
例子1：
z=f(x,y)=x+y
x=x(u,v)=u-v
y=y(u,v)=u+v

∂z/∂u=(∂z/∂x)*(∂x/∂u)+(∂z/∂y)*(∂y/∂u)=1+1=2

例子2：
y=f(x)=x
x=x(t)=t
dy/dt=(dy/dx)*(dx/dt)=1
例子1和例子2对比，
他们完全是不同的俩个形式。

Answer 2

这个问题问的好，首先先说∂z/∂u=(∂z/∂x)*(∂x/∂u)+(∂z/∂y)*(∂y/∂u)这个式子不能约的原因在于，这几个函数z=f(x,y),x=x(u,v),y=y(u,v)都是二元函数，也就是都有三个量，而书上说这种二元函数的偏导数是不能看成∂z与∂u之比的，∂z/∂u是一个整体的记号。但我觉得这样的理解是不够深入的，同样是变量微小变化之比，为什么不能约分？其实本质原因在于固定哪个量不变，如果固定不变的量相同，那么偏导数也是可以约的，例如设u=f(x,y)，v=g(x,y)，这里有四个变量，把哪个看成自变量都无所谓，故u也对v求偏导数，但此时要明确是x不变还是y不变，如果不变量相同，例如都是x不变，那么可求出ðu/ðx和ðv/ðx，进而ðu/ðv就等于(ðu/ðx)/(ðv/ðx)，但如果固定的变量不同，就不能这么做。

Answer 3

这个问题的问的肯定不能约分啊。首先你要明白第二个可以约的意思是说要y对t求导，可以先y对x求导，然后再乘以x对t求导。再说第一个是一个二元函数了，z要对u求导，那么就按照一样的方法，但是x和y均含有u，所以就两个相加了。按照你说的如果约去，左边是z对u，右边成了两倍的z对u。所以肯定不能约去啊！但是其实表达的是约去的意思，因为左边是只有z对u，右边则先要z对x，x对u和z对y，y对u。

Answer 4

上面的z=f(x,y),x=x(u,v),y=y(u,v)代表的是一个函数，说通俗点就是∂z/∂u=(∂z/∂x)*(∂x/∂u)+(∂z/∂y)*(∂y/∂u)中的两个∂x（∂y)是各自的变量，并不是实际的多项式，而下面的dy/dt=(dy/dx)*(dx/dt)只是个由未知数组成的多项式，所以两个dx是可以约分的

追问

没明白啊，详细点行不？谢谢。

追答

你要清楚，能约分的必须是多项式，而上面约分不了的，是表示一个函数的意思，不具有实际的数值意思，这样说能明白吧

Answer 5

z=f(x,y),x=x(u,v),y=y(u,v)这里z是二元函数，自变量u通过x、y一共2个方式影响z，因此不能约分，那样就无法体现u对z的作用