Question

如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=120°，AD⊥BA，CD⊥BC，测得AB=4，CD=5√3，求四边形ABCD的面积

Answer 1

作AE⊥DC，BF⊥AE，

∠ABC=120°,∴∠d=60°,∠dae=30°,∠abf=30°,

∵ab=4,所以af=2,bf=ec=2√3,de=3√3,ae=9

所以四边形ABCD的面积=S△ade+S梯形abce=1/2DE*AE+1/2(ae+bc)*ec=59√3/2

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Answer 2

延长DA、CB交于点N

∵∠C=∠BAC=90º，∠ABC=120º

∴∠D=60º，∠N=30º

∵CD=5√3、AB=4

∴BC=5√3×√3=15、NA=4√3

∴S四边形ABCD=SΔNCD-SΔ NAB

                          =5√3×15/2-4×4√3/2

                          =59√3/2

Answer 3

提示：延长AB、DC交于E，∵∠ABC＝120º，∴∠E＝30º，

在⊿BEC中，设BC＝x,则BE＝2x，CE＝√3x，

在DEA中，AE＝4＋2x，DE＝5√3＋√3x，

由cosE＝AE／DE，解得x＝7，∴BE＝14，CE＝7√3，

∴AE＝18，DE＝12√3，AD＝6√3；

∴四边形ABCD的面积＝⊿EDA的面积－⊿EBC的面试

＝

Answer 4

延长DA和CB交于H
∠H=120度-90度=30度
又因为∠C=90度
所以△HAB∽△HCD
因为AB=4，在Rt△HAB中∠H=30度
所以AH=4√3
S△HAB=4*（4√3）/2=8√3
S△HAB/S△HCD=（AB/CD）^2
所以S△HCD=73.5*√3
S四边形ABCD=73.5*√3-8√3=29.5*√3

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Answer 5

延长DA和CB与点E
据题可求出∠D=60°
所以∠E=30°
已知CD=5√3
所以可知EC=15
S△EDC=5√3*15/2=75√3/2
因为BA⊥DE
所以可知∠EBC=60°
已知AB=4
所以AE=4√3
S△EAB=4√3*4/2=8√3
S ABCD=75√3/2-8√3
=59√3/2
=29.5√3
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