Question

设a＞0,b＞0,且a³＋b³＝a＋b.（1）求ab的最大值.（2）a＋b的最大值

Answer 1

(1)
若a>0,b>0，则a+b>0.
a³+b³=a+b
(a+b)(a²-ab+b²)=a+b
∴1=a²-ab+b²
≥2ab-ab
→ab≤1，
即ab最大值为1.

(2)
依权方和不等式得
a+b
=a³+b³
=a³/1²+b³/1²
≥(a+b)³/(1+1)²
∴(a+b)[(a+b)²-4]≤0.
而a+b>0，故
(a+b)²-4≤0，
即0<a+b≤2.
即a+b最大值为2。