Question

已知等差数列{an}中,a2=5,a4=11,记数列{1/an}的前n项和为Sn,若对任意的n∈N，都有S(2n+1)-Sn≤m/20成立

则整数m的最小值为
A.5 B.6 C.7 D.8

Answer 1

解：
设{an}公差为d。
a4-a2=2d=11-5=6
d=3
a1=a2-d=5-6=-1
an=a1+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4
S(2n+1)-Sn=1/(3×1-4)+1/(3×2-4)+...+1/[3×(2n+1)-4]-[1/(3×1-4)+1/(3×2-4)+...+1/(3n-4)]
=1/[3(n+1)-4]+1/[3(n+2)-4]+...+1/[3×(2n+1)-4]
=1/(3n-1)+1/(3n+2)+...+1/[3×(2n)-1]
S[2(n+1)+1]-S(n+1) -[S(2n+1)-Sn]
=1/(3n+2)+1/(3n+5)+...+1/(3×(2n+2)-1] -[1/(3n-1)+1/(3n+2)+...+1/[3×(2n)-1] ]
=1/[3×(2n+2)-1] -1/(3n-1)
=1/(6n+5) -1/(6n-2)
=-7/[(6n+5)(6n-2)]<0
即随n增大，S(2n+1)-Sn单调递减，当n=1时，S(2n+1)-Sn取得最大值，要不等式成立，则只要当S(2n+1)-Sn取得最大值时，不等式成立。
S(2×1+1)-S1=S3-S1=1/a1+1/a2+1/a3-1/a1=1/a2+1/a3=1/(3×2-4)+1/(3×3-4)=1/2+1/5=7/10
m/20≥7/10
m≥14
整数m的最小值为14。

追问

没有这个选项啊

追答

D 选项是什么啊

追问

8

追答

很抱歉这个地方写错了真的很不好意思，下面是正解。

设{an}公差为d。

a4-a2=2d=11-5=6

d=3.a1=a2-d=5-3=2,

an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1,

S(2n+1)-Sn=1/(3×1-1)+1/(3×2-1)+...+1/[3×(2n+1)-1]-[1/(3×1-1)+1/(3×2-1)+...+1/(3n-1)]

=1/[3(n+1)-1]+1/[3(n+2)-1]+...+1/[3×(2n+1)-1]

=1/(3n+2)+ 1/(3n+5)...+1/[3×(2n)+2]

S[2(n+1)+1]-S(n+1) -[S(2n+1)-Sn]

=1/(3n+5)+1/(3n+8)+...+1/(3×(2n+2)+2] -[1/(3n+2)+1/(3n+5)+...+1/[3×(2n)+2] ]

=1/[3×(2n+2)+2] -1/(3n+2)

=1/(6n+8) -1/(3n+2) <0

即随n增大，S(2n+1)-Sn单调递减，当n=1时，S(2n+1)-Sn取得最大值，

 

要使不等式成立，则只要当S(2n+1)-Sn取得最大值时，不等式成立。

 

S(2×1+1)-S1=S3-S1=1/a1+1/a2+1/a3-1/a1=1/a2+1/a3=1/5+1/8=13/40&#8205;，

 

∵(S2n+1)-Sn≤m/20恒成立，∴m/20≥13/40，即m≥13/2,

 

所以整数m的最小值为7。