Question

已知函数f(x)=ax/(x^2+1)+a,求f(x)的单调区间

Answer 1

答：
f(x)=ax/(x^2+1)+a
求导得：
f'(x)=a/(x^2+1)-ax*2x/(x^2+1)^2=a(1-x^2)/(x^2+1)^2

1）当a=0时，f(x)=0为常数函数；

2）当a<0时：
-1<=x<=1，a(1-x^2)<=0，f'(x)<=0，f(x)是减函数，单调减区间是[-1,1]；
x<=-1或者x>=1时，a(1-x^2)>=0，f'(x)>=0，f(x)是增函数，单调增区间是[-∞,-1]∪[1,+∞)。

3）当a>0时：
-1<=x<=1，a(1-x^2)>=0，f'(x)>=0，f(x)是增函数，单调增区间是[-1,1]；
x<=-1或者x>=1时，a(1-x^2)<=0，f'(x)<=0，f(x)是减函数，单调减区间是[-∞,-1]∪[1,+∞)。

Answer 2

解：f'(x)=a(1-x)(1+x)/(1+x^2)^2,令其等于0，得x=1,x=-1
(1).当a=0时，f(x)=0为常值函数
（2）当a>0时，f(x)在（-1,1）上是单增的，在上（-∞，-1）或（1，+∞）是递减的
（3）当a<0时，f(x)在（-1,1）上是单减的，在上（-∞，-1）或（1，+∞）是递增的

Answer 3

f'(x)=(a(x^2+1)-ax*2x)/(x^2+1)^2=a(1-x^2)/(x^2+1)^2 令f'(x)=0 得x=±1
而当a=0时 函数f(x)=0 为常数函数
若a<0
x<-1,x>1时f'(x)>0 所以函数在x<-1,x>1单调递增
-1<x<1时f'(x)<0,所以函数在-1<x<1单调递减
若a>0
x<-1,x>1时f'(x)<0 所以函数在x<-1,x>1单调递减
-1<x<1时f'(x)>0,所以函数在-1<x<1单调递增

Answer 4

分类讨论：
当a=0时，f(x)=0 因为单调性的定义中必须是f(x1)>f(x2)，是严格的大于或者小于
所以当a=0时，不存在单调区间
当a≠0时，
f'(x)=a(x^2+1)-2xax/(x^2+1)^2=a(1-x^2)/(x^2+1)^2
令上式等于0 解得x=+1或-1
若a>0
x>1 或x<-1时f'(x)<0所以在区间（负无穷，-1）并（1，正无穷）单调递减
-1<=x<=1 f'(x)>0所以f(x)在 【-1，1】 单调递增
当a<0时
x>1 或x<-1时f'(x)>0所以在区间（负无穷，-1）并（1，正无穷）单调递增
-1<=x<=1 f'(x)<0所以f(x)在 【-1，1】 单调递减