已知函数f(x)=ax/(x^2+1)+a,求f(x)的单调区间
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答:
f(x)=ax/肢行(x^2+1)+a
求导得:
f'(x)=a/(x^2+1)-ax*2x/(x^2+1)^2=a(1-x^2)/(x^2+1)^2
1)当a=0时,f(x)=0为常数函数;
2)当a<0时:
-1<=x<=1,a(1-x^2)<=0,f'(x)<=0,f(x)是减函数,单调减区间是[-1,1];
x<=-1或者x>=1时,a(1-x^2)>=0,f'(x)>=0,f(x)是增函数,单调增吵喊区间是[-∞,-1]∪[1,+∞)。
3)当a>0时:
-1<=x<=1,a(1-x^2)>=0,f'(x)>=0,f(x)是增函数,单调增区历碰哗间是[-1,1];
x<=-1或者x>=1时,a(1-x^2)<=0,f'(x)<=0,f(x)是减函数,单调减区间是[-∞,-1]∪[1,+∞)。
f(x)=ax/肢行(x^2+1)+a
求导得:
f'(x)=a/(x^2+1)-ax*2x/(x^2+1)^2=a(1-x^2)/(x^2+1)^2
1)当a=0时,f(x)=0为常数函数;
2)当a<0时:
-1<=x<=1,a(1-x^2)<=0,f'(x)<=0,f(x)是减函数,单调减区间是[-1,1];
x<=-1或者x>=1时,a(1-x^2)>=0,f'(x)>=0,f(x)是增函数,单调增吵喊区间是[-∞,-1]∪[1,+∞)。
3)当a>0时:
-1<=x<=1,a(1-x^2)>=0,f'(x)>=0,f(x)是增函数,单调增区历碰哗间是[-1,1];
x<=-1或者x>=1时,a(1-x^2)<=0,f'(x)<=0,f(x)是减函数,单调减区间是[-∞,-1]∪[1,+∞)。
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解:f'(x)=a(1-x)(1+x)/(1+x^2)^2,令其等春唯于0,得x=1,x=-1
(1).当a=0时,f(x)=0为常值函数
(2)当a>首森旅0时,f(x)在(-1,1)上是单增的,在上(-∞,-1)或(1,者凳+∞)是递减的
(3)当a<0时,f(x)在(-1,1)上是单减的,在上(-∞,-1)或(1,+∞)是递增的
(1).当a=0时,f(x)=0为常值函数
(2)当a>首森旅0时,f(x)在(-1,1)上是单增的,在上(-∞,-1)或(1,者凳+∞)是递减的
(3)当a<0时,f(x)在(-1,1)上是单减的,在上(-∞,-1)或(1,+∞)是递增的
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f'(x)=(a(x^2+1)-ax*2x)/(x^2+1)^2=a(1-x^2)/蠢汪迟(x^2+1)^2 令f'(x)=0 得x=±1
而当a=0时 函数f(x)=0 为常数函数
若a<0
x<-1,x>1时f'(x)>0 所以函数在x<-1,x>1单调递增
-1<x<1时f'(x)<0,所以函数在-1<x<1单调递减
若a>0
x<-1,x>1时f'(x)<0 所以函数在陵改x<-1,x>带李1单调递减
-1<x<1时f'(x)>0,所以函数在-1<x<1单调递增
而当a=0时 函数f(x)=0 为常数函数
若a<0
x<-1,x>1时f'(x)>0 所以函数在x<-1,x>1单调递增
-1<x<1时f'(x)<0,所以函数在-1<x<1单调递减
若a>0
x<-1,x>1时f'(x)<0 所以函数在陵改x<-1,x>带李1单调递减
-1<x<1时f'(x)>0,所以函数在-1<x<1单调递增
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分类讨论:
当a=0时,f(x)=0 因为单调性的定纳者凯义中必须是f(x1)>f(x2),是严格的大于或者小于嫌锋
所以当a=0时,不存在单调区间
当a≠0时,
f'(x)=a(x^2+1)-2xax/(x^2+1)^2=a(1-x^2)/(x^2+1)^2
令上式等于0 解得x=+1或-1
若a>0
x>1 或x<-1时f'(x)<0所以在区间(负无穷,-1)洞唤并(1,正无穷)单调递减
-1<=x<=1 f'(x)>0所以f(x)在 【-1,1】 单调递增
当a<0时
x>1 或x<-1时f'(x)>0所以在区间(负无穷,-1)并(1,正无穷)单调递增
-1<=x<=1 f'(x)<0所以f(x)在 【-1,1】 单调递减
当a=0时,f(x)=0 因为单调性的定纳者凯义中必须是f(x1)>f(x2),是严格的大于或者小于嫌锋
所以当a=0时,不存在单调区间
当a≠0时,
f'(x)=a(x^2+1)-2xax/(x^2+1)^2=a(1-x^2)/(x^2+1)^2
令上式等于0 解得x=+1或-1
若a>0
x>1 或x<-1时f'(x)<0所以在区间(负无穷,-1)洞唤并(1,正无穷)单调递减
-1<=x<=1 f'(x)>0所以f(x)在 【-1,1】 单调递增
当a<0时
x>1 或x<-1时f'(x)>0所以在区间(负无穷,-1)并(1,正无穷)单调递增
-1<=x<=1 f'(x)<0所以f(x)在 【-1,1】 单调递减
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