Question

定义在R上的可导函数f(x),且f(x)图像是连续的，当x不等于0时，f'(x)+f(x)/x>0,则函数g(x)=f(x)+1/x的零点

个数为多少？

Answer 1

答：
f'(x)+f(x)/x>0
1）x>0时，上式化为：xf'(x)+f(x)>0，即是：[xf(x)]'>0
2）x<0时，上式化为：xf'(x)+f(x)<0，即是：[xf(x)]'<0
所以：

m(x)=xf(x)在(-∞，0)上是减函数，m(x)>m(0)=0*f(0)=0；
m(x)=xf(x)在(0，+∞)上是增函数，m(x)>m(0)=0

g(x)=f(x)+1/x=[xf(x)+1]/x=[m(x)+1]/x

m(x)>0，所以：m(x)+1>1。

所以：g(x)不存在零点。