Question

已知函数f(x)=1/2x²-(a+1) x+a ln x+4 (a>0)

(1)求函数f(x)的单调减区间
(2)当a=2时，函数y=f(x)在[e^n，+∞) (n∈Z)有零点，求n的最大值。
1/2是x²的系数

Answer 1

f(x)的定义域为x∈(0,+∞)
f´(x)=x-(a+1)+a/x,令f´(x)=0,即x²-(a+1)x+a=0,亦即(x-a)(x-1)=0
第1问
（1）当a=1时，两驻点重合，
f´(x)=x-2+1/x=(√x-1/√x)²≥0（当且仅当x=1时，“=”成立），
所以函数在整个定义域内单调增加；
（2）当a＜1时，f´(x)=x-(a+1)+a/x=(x-a)(x-1)/x,
f(x)在(0,a)∪(1,+∞)单调增加，在（a,1）单调减少；
（3）当a＞1时，f´(x)=x-(a+1)+a/x=(x-a)(x-1)/x,
f(x)在(0,1)∪(a,+∞)单调增加，在（1,a）单调减少；
第2问
当a=2时，y=f(x)=1/2x²-3x+2lnx+4,f´(x)=(x-2)(x-1)/x
由1.之（3）知，f(x)在(0,1)∪(2,+∞)单调增加，在（1,2）单调减少；
极大值f(1)=3/2,极小值f(2)=2ln2，所以f(x)有唯一零点在（0,1）内，
所以e^n＜1，n＜ln1=0，所以n的最大值是-1.
很高兴为您解答，祝你学习进步！
有不明白的可以追问！如果您认可我的回答。希望采纳，谢谢！

Answer 2

1、求导，f'(x)=[x²-(a-1)x+a]/x 可以得出x²-(a-1)x+a>=0 lnx可以得出x>0，所以f(x)在整个定义域都是单调增区间

追问

第二问