Question

求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解

Answer 1

求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解
1。(dy/dx)-y/x-1=0，y(e)=3e；
解：令y/x=u，则y=ux；对x取导数得dy/dx=(du/dx)x+u，代入原式得：
(du/dx)x+u-u-1=0，即有(du/dx)x=1；分离变量得du=dx/x；积分之得u=lnx+lnC=ln(Cx)，
故得通解为y=xln(Cx)；代入初始条件：3e=eln(Ce)=e(lnC+1)，即有lnC=2，C=e²；
于是得特解为y=xln(e²x)=x(2+lnx)=2x+xlnx；
2。xy'+2y=0，y(1)=1；
解：dy/dx=-2y/x；分离变量得dy/y=-2dx/x；取积分得lny=-2lnx+lnC=ln(C/x²)
故得y=C/x²，即通解为x²y=C；代入初始条件得C=1，故得特解为x²y=1.

Answer 2

解：
1、∵原方程可化为：dy/dx-y/x=1
而 dy/dx-y/x=0的积分方程为： y=C1x
∴，令方程通解为：y=C(x)x
则：C'(x)x=1
解得：C(x)=lnx+C2
∴原方程通解为：
y=xlnx+C2x
又∵y(e)=3e
∴C2=2
∴方程特解为：
y=xlnx+2x

2、方程可化为：dy/dx=-2y/x
即：dy/2y=-dx/x
两边积分：1/2ln2y=-lnx+lnC
化简：2y=（C/x）^2
又y(1)=1
解得：C=√2
∴方程特解为：y=1/x^2

Answer 3

1.
xdy-ydx-xdx=0
(xdy-ydx)/x^2-dx/x=0
d(y/x-lnx)=0
y/x-lnx=c
代入初始条件：
3e/e-1=c c=2
y=xlnx+2x
2.
xdy+2ydx=0
x^2dy+2xydx=0
d((x^2)y)=0
(x^2)y=c
代入初始条件：
1＝c
y=1/x^2