Question

如图，梯形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=2∠C=2α，点P在AD上，∠BPE=∠A，PE交CD于E点。

①如图1若α=45°，求证PB=PE。②如图2若α为锐角，上结论是否仍然成立，并证明用八年级下册所学知识证，过程详细追加10分

Answer 1

1
作DF//AB, 交BC于 F
α=45°, ABC=90°,∠A, ∠BPE = 90°
得DF垂直BC,
AB=AD,
ABFD是正方形

C=45°, ∠CFD = 90°,∠CFD = 90° -45° =45°
连接BD。 ∠ADB = ∠BDF=45°. ∠BDC = 45°+45°=90°
BPDE4点共圆
∠PDB = ∠PEB. =45°
所以 BPE 是等腰直角三角形
PB = PE

2
成立。
作图同1
ABFD是菱形。
∠BPE = A = 180 -2α
因为内错角相等，∠BDF=ABD = 1/2 ABC= α
因为同位角相等，　DFC = ABC = 2α
CDF = 180 - 2α - α
BDC = BDF +CDF = α + 180 - 2α - α = 180 - 2α
BDC = BPE
BPDE4点共圆
∠PDB = ∠PEB. =α
PBD = 180- (180 - 2α + α )= α

所以 BPE 是等腰三角形
PB = PE