Question

高数，计算结果怎么出来的

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Answer 1

高数，计算结果怎么出来的
对于积分∫∫∫（x^2+y^2+z^2)dv 积分区域为：√(x^2+y^2)≤z≤1
用柱坐标： 积分区域在XOY平面上的投影为：x^2+y^2≤1
在极坐标下：0≤ρ≤1,0≤θ≤2π

对z:ρ≤z≤1
因此原积分=∫(0→2π）dθ∫（0→1)ρdρ∫（ρ→1)(ρ^2+z^2)dz
=2π∫（0→1)ρdρ∫（ρ→1)(ρ^2+z^2)dz
=2π∫（0→1)ρ(ρ^2+(1/3)-ρ^3-(1/3)ρ^3)dρ
=2π∫（0→1)(ρ^3+(1/3)ρ-(4/3)ρ^4)dρ
=2π(0.25ρ^4+(1/6)ρ^2-(4/15)ρ^5) （0→1)
=2π[0.25+(1/6)-(4/15)]
=π[0.5+(1/3)-(8/15)]
=(9/30)π
因此：（2/3）∫∫∫（x^2+y^2+z^2)dv
=（2/3）x(9/30)π
=(6/30)π
=π/5