Question

已知函数f(x)=1/3ax^3+bx^2+cx(a≠0），且f(-2)=0 ( 1)f(x)在x=2处去的极小值-2，求f(x)的单调区间

Answer 1

F(x)=ax/3+bx^(2/3)+cx^(1/3)
F'(x)=a/3+(2b/3)x^(-1/3)+(c/3)x^(-2/3)，F'(-1)=0 则a-2b+c=0;
（1）若F(x)在x=1处取得最小值-2，则F'(1)=0，a+2b+c=0，则b=0,c=-a。
F(1)=-2，(a/3)+b+c=-2;则 a=3,c=-3。
F'(x)=-x^(-2/3)+1，x∈（-∞，-1）时，F'(x)>0，函数F(x)单调递增；
x∈（-1，1）时，F'(x)<0，函数F(x)单调递减;
x∈（1，∞）时，F'(x)>0，函数F(x)单调递增。

Answer 2

因为f(-2) = 0,可得式子 -8/3a+4b-2c= 0;因为在x=2处区极小值，则f（x）的导数在x= 2处为0，即ax^2 +2bx+c=0,带入x=2得到式子4a+4b+c= 0；又因为极小值为2，则得到式子：8/3a + 4b + 2c = -2;由以上三个式子解出 a = 9/32， b= -1/4， c=-1/8；带入原函数，再求导即可，将最后答案写出如下： 单增区间（负无穷，-2/9）和（2，正无穷） 单减区间（-2/9，2）