Question

函数y=(x-a)^2+(e^x-a)^2的最小值为1/2,求a的值

函数y=(x-a)^2+(e^x-a)^2的最小值为1/2,求a的值

Answer 1

可用数形结合法:
d²=y
=(x-a)²+(e^x-a)².
即以上d是直线y=x到指数函数y=e^x图象的最短距离.
设y=e^x上存在一点(x，e^x)，
此点切线平行于y=x，
则k=(e^x)'=1→x=0，
即y=e^x在点(0，1)处切线平行于y=x.
依点线距公式，点(0，1)到y=x的距离
d=|0-1|/√2，
故所求最小值为
y=d²=(1/√2)²=1/2.
此时直线y=x上的点为
(d/√2，d/√2)即(√2/4，√2/4).
故a=√2/4。