Question

求证： sin(α+β）cos（α-β）=sinαcosα+sinβcosβ

Answer 1

证明：
sin(α+β)cos(α-β)
=(sinαcosβ+cosαsinβ)(cosαcosβ+sinαsinβ)
=sinαcosα cos²β + cos²α sinβcosβ+ sin²α sinβcosβ+sinαcosα sin²β
=sinαcosα cos²β +sinαcosα sin²β + cos²α sinβcosβ+ sin²α sinβcosβ
=sinαcosα【 cos²β + sin²β 】+【 cos²α + sin²α 】sinβcosβ
=sinαcosα + sinβcosβ
左边等于右边，即为所证

Answer 2

sin2a=sin(a+b+a-b)=sin(a+b)cos(a-b)+sin(a-b)cos(a+b) ①
sin2b=sin(a+b-(a-b))=sin(a+b)cos(a-b)-sin(a-b)cos(a+b) ②
(①+②)/2，sin(α+β）cos（α-β)=(sin2a+sin2b)/2=sinacosa+sinbcosb

Answer 3

由积化和差公式：sinαcosβ=1/2[sin(α+β）+sin（α-β）]得
sin(α+β）cos（α-β）=1/2(sin2α+sin2β)＝sinαcosα+sinβcosβ