Question

高中解析几何问题。

希望用弦长定理、点到直线距离求解 其它方法的绕行吧
希望用弦长定理、点到直线距离求解 其它方法的绕行吧
希望用弦长定理、点到直线距离求解 其它方法的绕行吧
希望用弦长定理、点到直线距离求解 其它方法的绕行吧

Answer 1

已知抛物线C：y²=2px的焦点坐标为F(1，0)，过F的直线L交抛物线于A，B两点，直线AO，B0
分别与直线m:x=-2相交于M，N两点；(1)求抛物线方程；(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为
定值。
解：(1)。p/2=1，故p=2，于是得抛物线方程为y²=4x；
(2)。设过焦点F(1，0)的直线L的方程为y=k(x-1)(设k>0)；代入抛物线方程得：
k²(x-1)²=4x，展开得k²x²-2(k²+2)x+k²=0...........(1)
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)；那么由维达定理得：
x₁+x₂=2(k²+2)/k²；x₁x₂=1；
y₁+y₂=k(x₁-1)+k(x₂-1)=k(x₁+x₂)-2k=2(k²+2)/k-2k=4/k；
y₁y₂=k²(x₁-1)(x₂-1)=k²[x₁x₂-(x₁+x₂)+1]=k²[2-2(k²+2)/k²]=2k²-2(k²+2)=-4；
故弦长∣AB∣=√{(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]}=√{(1+k²)[4(k²+2)²/k⁴-4]}=4(1+k²)/k²
把直线L的方程改写成kx-y-k=0，则原点到L的距离h=∣-k∣/√(1+k²)=k/√(1+k²)
故△ABO的面积S₁=(1/2)∣AB∣h=(1/2)[4(1+k²)/k²][k/√(1+k²)]=(2/k)√(1+k²)
AO所在直线的方程为y=(y₁/x₁)x，令x=-2，得y=-2y₁/x₁，即M(-2，-2y₁/x₁)；
BO所在直线的方程为y=(y₂/x₂)x，令x=-2，得y=-2y₂/x₂，即N(-2，-2y₂/x₂)；
故∣MN∣=∣-2y₁/x₁+2y₂/x₂∣=2∣(y₂/x₂-y₁/x₁)∣=2∣(x₁y₂-x₂y₁)/(x₂x₁)∣
=2∣x₁y₂-x₂y₁∣【因为x₂x₁=1】=2∣(y²₁/4)y₂-(y²₂/4)y₁∣=(1/2)∣y₁(y₁y₂)-y₂(y₁y₂)∣
=(1/2)∣-4y₁+4y₂∣=2∣y₂-y₁∣=2√(y₁-y₂)²=2√[(y₁+y₂)²-4y₁y₂]=2√[16/k²+16]
=8√[(k²+1)/k²]=(8/k)√(k²+1)；
△MNO的面积S₂=(1/2)×2×∣MN∣=∣MN∣=(8/k)√(k²+1)
∴S₁/S₂=[(2/k)√(1+k²)]/[(8/k)√(k²+1)]=2/8=1/4=定值。故命题得证。

Answer 2

第一问很简单吧…y∧2=4x
第二问就先把AB的解析式设出来，设它是y=k（x－1）
然后和抛物线连立，算它的韦达定理…
设A点坐标是（X1,Y1）B(X2,Y2)
三角形ABC的面积是OF*|Y1-Y2|*1/2
|Y1-Y2|又可以用韦达定理表示，通过直线解析式换成Y
至于MON的面积，还是把BN,AM的解析式算出来，然后MN的坐标用X1,X2表示就行了…
这里只提供了一下思路，具体还是应该自己算一下，解析几何其实没什么就联立，韦达定理，计算…多练练就好了^_^
希望对你有帮助~

追问

请把答案算下去好吗 您应该知道 我不会用这么高的悬赏 让大家解一道无聊的问题。

Answer 3

第一问不用说了，说第2问
首先设A(y1^2/4,y1),B(y2^2/4,y2),然后求出Lao，Lbo，再求出这两条线与与m直线的交点，然后用y1和y2表示三角形mno，然后设直线Lab设法最好是x=ky+1,因为这样就可以求出y1+y2与y1*y2的
值，也不用考虑k值。然后可以用点到直线的公式求出三角形abo的值，然后就可以作比较了。（注意在求mno时会有y1-y2的式子，它可以用（y1-y2）^2-4*y1*y2表示）。剩下就靠计算了。当然一般都会算错。如果个人要求不高，建议放弃这种题。即使会做也会算错，快高考了，没必要给自己太大压力

追问

请把答案算下去好吗 您应该知道 我不会用这么高的悬赏 让大家解一道无聊的问题。您不把第二问算出来是告诉我您不会吗 如果不会您又何必回答呢。

追答

我怕算错了，以下就是我的答案：
设A（y1^2/4,y1）,B(y2^2,y2).so,Lao:y=(y1/(y1^2/4))x,so,Lao:y=4/y1*x,Lbo:y=4/y2*x;be,m:x=-2;so
M(-2,-8/y1),N(-2,-8/y2),so,mon=16((y1-y2)/y1*y2)(取绝对值).
设x=ky+1,与方程y^2=4x联立，得y^2-4*k*y-4=0,so,y1+y2=4k,y1*y2=-4;so,(y1-y2)^2=16*k*k-16(取绝对值);so,mon=16根号k^2-1;
利用点到直线公式得 abo高为1/根号1+k^2;ab距离为根号（y1^2/4-y2^2/4）^2-(y1-y2)^2,取一个（y1-y2）^2出来得ab：根号k^2-1/(y1-y2),so,abo:1/(y1-y2)（好像刚才算y1-y1多余了哈），再将mon/abo 得4，所以为定值4.
这题关键是设Lab直线方程要设好。还有面积直线都要是绝对值。
当然我算错的几率很大，我在这方面是极度不自信