Question

数学题 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x． （

如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；
（3）试求当x取何值时，以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点．

http://www.jyeoo.com/Math/Ques/Detail/b1474d0b-bc10-49d2-ad76-123508dc7ee5
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Answer 1

（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．（1分）
∴∠ABE=90°．
∴∠PAF=∠AEB．（1分）
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°．（1分）
∴△PFA∽△ABE．

（2）解：情况1，当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，
则有PE∥AB（1分）
∴四边形ABEP为矩形．（1分）
∴PA=EB=2，即x=2．（2分）
情况2，当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．（1分）
∵AE=根号（AB^2+BE^2)=根号（4^2+2^2）=2倍根号5 ，
∴EF=1/2AE=根号5
∵PE/ AE=EF/EB
，即
PE/2倍根号5=根号5/2，
∴PE=5，即x=5．
∴满足条件的x的值为2或5．
（3）作DH⊥AE，则⊙D与线段AE的距离d即为DH的长，可得d=8倍根号5/5
当点P在AD边上时，⊙D的半径r=DP=4-x
如图1时，⊙D与线段AE相切，此时d=r，
即
8倍根号5/5=4-x，∴x=4-8倍根号5/5
唉，你去看http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/b1474d0b-bc10-49d2-ad76-123508dc7ee5?a=1

追问

第三问有多个答案哦 x=4-8倍根号5/5 x=4+8倍根号5/5 还有一个范围 要过程

Answer 2

1、∵ABCD是正方形∴∠DAB=∠B=90°∵PF⊥AE∴△PFA是Rt△∴∠BAE+∠AEB=90°∠PAF+∠BAE=90­∴∠PAF=∠AEB∴Rt△PFA∽Rt△ABE2、当∠APE=90°时，即EP⊥AD时 那么△APE∽△PFA∽△ABE∵∠PAB=∠ABE=∠APE=90°∴四边形ABEP是矩形∴PA=BE∵E是BC边的中点∴PA=BE=1/2BC=1/2×8=4∴当x=4时，以P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似