Question

这个积分怎么求出原函数？

额，把那个0到1的区间去掉，直接求原函数，谢谢。

Answer 1

令v=1-u，则S=∫(u+v+u^2*v^2)^(1/2)du=∫(u+v+u^2*v^2)^(1/2)dv
“=”两边相乘，则
S^2=(∫∫(u+v+u^2*v^2)dudv)
=∫dv∫(u+v+u^2*v^2)du
=∫(u^2/2+uv+u^3/3*v^2+C1)dv
=(u^2/2*v+uv^2/2+u^3*v^3/9+C1v+C2)
S=±√(u^2/2*v+uv^2/2+u^3*v^3/9+C1v+C2)
=±√[u^2/2*(1-u)+u(1-u)^2/2+u^3*(1-u)^3/9+C1*(1-u)+C2]

PS：不得不佩服楼上的证明，神来之笔！

Answer 2

S=∫(0,1)(1+u^2*(1-u)^2)^(1/2)du---------------------------(1)
设v=1-u,-dv= du,
S=-∫(1,0)(1+v^2*(v)^2)^(1/2)dv=∫(0,1)(1+v^2*(v)^2)^(1/2)dv----(2)
(1)x(2)
S^2=∫∫(1+u^2*v^2)dudv=∫[v+(v^3*u^2)/3+c]du
=uv+(v^3/9)u^3+cu+c'
=u(1-u)+[(1-u)^3]*(u^3)/9+cu+c'
S=±√{u(1-u)+[(1-u)^3]*(u^3)/9+cu+c'}

Answer 3

令v=1-u，则S=∫（u+v+u^2*v^2)^(1/2)du=∫(u+v+u^2*v^2)^(1/2)dv
“=”两边相乘
则
S=(∫∫(u+v+u^2*v^2)dudv)^(1/2)=(10/9)^(1/2)
不知对否

追问

额，把那个0到1的区间去掉，能给出原函数吗？还有，你这证明NB了。。

Answer 4

最好看看数学分析，复合函数求定积分的方法。大学里的知识现在都记不起来了。

追问

额，你觉得这答案能得分吗