Question

求f（x）＝（1＋1／x）＾x（0＜x）的单调性。谢谢啊！

Answer 1

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 2

f(x)=y＝(1+1/x)＾x x>0
lny=xln(1+1/x)
y'/y=ln(1+1/x)+x·(-1/x²)/(1+1/x)
=ln(1+1/x)-1/(1+x)
y'=[ln(1+1/x)-1/(1+x)]·(1+1/x)＾x
令g(x)=ln(1+1/x)-1/(1+x) x>0
g'(x)=-1/(1+x)+1/(1+x)²=-x/(1+x)²<0
g(x)单调递减
lim(x→+∞)g(x)=0
∴g(x)>0
∴y'>0
定义域内y单调递增

Answer 3

f′(x)=[(1＋1／x)^x]*[ln(1+1/x)-1/(1+x)]
即需要证明ln(1+1/x)-1/(1+x)恒大于0，
令g(x)=ln(1+1/x)-1/(1+x)
g′(x)=1/(1+x)^2-1/(x(1+x))=-1/[x*(1+x)^2]
所以当x>0时，g(x)单调递减。
g(∞)=0;
所以对任意x>0有g(x)>g(∞)=0;
所以g(x)>0,f′(x)恒为正，所以f(x)在x>0时单调递增。

Answer 4